zgadywanki i zagadki
Moderator: RedAktorzy
-
Alfi
- Inkluzja Ultymatywna
- Posty: 20009
- Rejestracja: pt, 10 cze 2005 10:29
-
Alfi
- Inkluzja Ultymatywna
- Posty: 20009
- Rejestracja: pt, 10 cze 2005 10:29
2 + 4 (kwadrat dwójki) + 16 (kwadrat kwadratu dwójki) = 22.
Można zapisać samymi dwójkami, w tym trzy razy w roli wykładnika potęgi.
Ale ciekawy jestem, czy można znaleźć inne rozwiązania, nie zgadując, ale obliczając. W końcu cyfr jest jeszcze 7 (nie liczę 0 i 1). Podejrzewam tylko, że możliwości jest zbyt dużo (jeszcze da się mnożyć, dzielić itp.), by to było możliwe bez wprowadzenia jakichś ograniczeń.
Można zapisać samymi dwójkami, w tym trzy razy w roli wykładnika potęgi.
Ale ciekawy jestem, czy można znaleźć inne rozwiązania, nie zgadując, ale obliczając. W końcu cyfr jest jeszcze 7 (nie liczę 0 i 1). Podejrzewam tylko, że możliwości jest zbyt dużo (jeszcze da się mnożyć, dzielić itp.), by to było możliwe bez wprowadzenia jakichś ograniczeń.
Le drame de notre temps, c’est que la bêtise se soit mise à penser. (Jean Cocteau)
Hadapi dengan senyuman.
Hadapi dengan senyuman.
-
No-qanek
- Nexus 6
- Posty: 3098
- Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03
Problemu wciąż nie sprecyzowałeś, ale myślę, że dalej nie trzeba.
Póki pytanie brzmi: dla jakich x tak się da, to wraz z rozmnażaniem pewnie okaże się, że dla każdej cyfry. I że rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Pewnie rozwiązaniem byłoby znalezienie jakiegoś algorytmu.
Jeśli trochę problem uporządkować, sprecyzować co wolno i nie mnożyć tego nadto to stanie się całkiem ciekawy. (Np. ograniczając się do potęgowania; sprawdzanie pierwiastków chyba byłoby nadmiernie kłopotliwe; tak strzelam) Można próbować sił w udowadnianiu, że dla jakichś się nie da.
Może coś wyjść z gęstości: może się okazać np. że sum wież* jest "więcej" niż liczb postaci xxxx...x; wtedy można dalej kombinować, że czasem się muszą zgodzić.
Albo może coś z właściwości liczby 10. W końcu prawa strona musi się równać x+x*10+x*10^2... Żadnych pięknych i prostych właściwości to nie ma, ale na pewno już coś wymyślono.
Generalnie podchodzi się do takich rzeczy raczej sprawdzając czy coś nie zachodzi zawsze/nigdy. Tworzy się coraz bardziej ścisłe ograniczenia, a potem w nich szuka przykładów i sprawdza.
Albo wymyśla się jakoś postać (np. jak u ciebie suma trzech wieży) i sprawdza czy czasem nie zachodzi tu jakieś twierdzenie, mówiące jakie liczby da się z tego skonstruować.
Nie oblicza się tego - to jest długotrwałe wymacywanie granic, szukanie twierdzeń, które więcej nam powiedzą, jak rozwiązanie musi wyglądać. Ale rzadko wyniknie nam tu jedno, konkretne.
To zadanie może być zabawą na lata dla porządnej grupy matematyków. Zwłaszcza, gdy zaczną wymyślać warianty :)
No chyba, że się okaże, że prostym twierdzeniem da się powiedzieć, że dla wszystkich się da albo że nie da się dla żadnego innego niż 2.
Ale najpewniej dowody pozostaną dowodami na istnienie: rozwiązania mogą się pojawiać np. ze składnikami poddanymi potęgowaniu po parę milionów razy.
Ach, uroki teorii liczb.
*Wieże potęgowe to takie stworki: x^x^x^x^...^x. Czyli potęgujemy ciągle o to samo. Nazywa się to (to działanie) tetracją (bo jest czwartą hiperoperacją). Wieże mogą być skończone albo i nie.
Póki pytanie brzmi: dla jakich x tak się da, to wraz z rozmnażaniem pewnie okaże się, że dla każdej cyfry. I że rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Pewnie rozwiązaniem byłoby znalezienie jakiegoś algorytmu.
Jeśli trochę problem uporządkować, sprecyzować co wolno i nie mnożyć tego nadto to stanie się całkiem ciekawy. (Np. ograniczając się do potęgowania; sprawdzanie pierwiastków chyba byłoby nadmiernie kłopotliwe; tak strzelam) Można próbować sił w udowadnianiu, że dla jakichś się nie da.
Może coś wyjść z gęstości: może się okazać np. że sum wież* jest "więcej" niż liczb postaci xxxx...x; wtedy można dalej kombinować, że czasem się muszą zgodzić.
Albo może coś z właściwości liczby 10. W końcu prawa strona musi się równać x+x*10+x*10^2... Żadnych pięknych i prostych właściwości to nie ma, ale na pewno już coś wymyślono.
Generalnie podchodzi się do takich rzeczy raczej sprawdzając czy coś nie zachodzi zawsze/nigdy. Tworzy się coraz bardziej ścisłe ograniczenia, a potem w nich szuka przykładów i sprawdza.
Albo wymyśla się jakoś postać (np. jak u ciebie suma trzech wieży) i sprawdza czy czasem nie zachodzi tu jakieś twierdzenie, mówiące jakie liczby da się z tego skonstruować.
Nie oblicza się tego - to jest długotrwałe wymacywanie granic, szukanie twierdzeń, które więcej nam powiedzą, jak rozwiązanie musi wyglądać. Ale rzadko wyniknie nam tu jedno, konkretne.
To zadanie może być zabawą na lata dla porządnej grupy matematyków. Zwłaszcza, gdy zaczną wymyślać warianty :)
No chyba, że się okaże, że prostym twierdzeniem da się powiedzieć, że dla wszystkich się da albo że nie da się dla żadnego innego niż 2.
Ale najpewniej dowody pozostaną dowodami na istnienie: rozwiązania mogą się pojawiać np. ze składnikami poddanymi potęgowaniu po parę milionów razy.
Ach, uroki teorii liczb.
*Wieże potęgowe to takie stworki: x^x^x^x^...^x. Czyli potęgujemy ciągle o to samo. Nazywa się to (to działanie) tetracją (bo jest czwartą hiperoperacją). Wieże mogą być skończone albo i nie.
"Polski musi mieć inny sufiks derywacyjny na każdą okazję, zawsze wraca z centrum handlowego z całym naręczem, a potem zapomina i tęchnie to w szafach..."
-
Alfi
- Inkluzja Ultymatywna
- Posty: 20009
- Rejestracja: pt, 10 cze 2005 10:29
-
No-qanek
- Nexus 6
- Posty: 3098
- Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03
Aha, i można by tu sobie założyć, że robiąc te kolejne potęgowania wykonujemy takie działanie: (x^x)^x. Inaczej pojawiają się nowe wykładniki i jeszcze trudniej o rozumowanie.
Przy takim założeniu mam np. nie ma rozwiązania dla 6 i 8.
Dla 3: 2 składniki muszą być spotęgowane 3n razy, jeden inaczej.
Dla 4: 2 składniki bez potęgowania, jeden z.
Dla 7 i 9: 2 składniki potęgowane parzystą ilość razy, 1 nieparzystą.
Wszystko ze zgodności ostatniej cyfry.
Przy takim założeniu mam np. nie ma rozwiązania dla 6 i 8.
Dla 3: 2 składniki muszą być spotęgowane 3n razy, jeden inaczej.
Dla 4: 2 składniki bez potęgowania, jeden z.
Dla 7 i 9: 2 składniki potęgowane parzystą ilość razy, 1 nieparzystą.
Wszystko ze zgodności ostatniej cyfry.
"Polski musi mieć inny sufiks derywacyjny na każdą okazję, zawsze wraca z centrum handlowego z całym naręczem, a potem zapomina i tęchnie to w szafach..."
-
No-qanek
- Nexus 6
- Posty: 3098
- Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03
-
No-qanek
- Nexus 6
- Posty: 3098
- Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03