zgadywanki i zagadki

czyli udowodnione lub nie zjawiska, względnie cuda-niewida oraz inne przejawy aktywności obcych

Moderator: RedAktorzy

ODPOWIEDZ
Awatar użytkownika
No-qanek
Baron Harkonnen
Posty: 4075
Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03

Post autor: No-qanek » pt, 02 mar 2012 11:55

Czas na rozwiązanie.

Wielu pewnie zna zagadkę, gdy chodzi o jednego chłopca. Tzn. gdy wiemy, że w rodzinie jest dwójka dzieci, a jedno z nich to chłopiec to szansa, że drugie z dzieci jest chłopcem wynosi 1/3. Wiemy, że mamy do czynienia z jednym z 3 równie prawdopodobnych ułożeń (C,C), (C,D), (D,C), gdzie C to chłopiec, a D to dziewczynka i są oni ustawieni np. według wieku.

Więc jaka jest różnica między powyższym a moją zagadką? Prosta: wiemy, że syn Kańtoch ma na imię Marcin. To znacząco zwiększa prawdopodobieństwo posiadania drugiego syna. Jak to rozumieć intuicyjnie? Np. tak: a co jeśli to nie przypadek? Może ma Marcina właśnie dlatego, ze ma tych synów więcej. Wiadomo, że im więcej synów, tym większa na to szansa. Albo inaczej: U Brzezińskiej synowie są wymienni, mogła mówić równie dobrze o jednym, jak i o drugim. U Kańtoch już nie do końca. A gdyby powiedziała, że jej syn jest prezydentem Mordoru to już w ogóle wiedzielibyśmy, że ma na myśli jednego konkretnego i prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest chłopcem byłoby 1/2, bo byłyby to zdarzenia niezależne.

Jest jeszcze kwestia ilości dzieci: ale można łątwo zauważyć, że ten czynnik może działać tylko na korzyść Kańtoch. Ponieważ posiadanie większej ilości dzieci zwiększa szansę na posiadanie Marcina, to posiadanie Marcina świadczy na korzyść posiadania większej ilości dzieci - ze wzoru Bayesa, który za chwilę przedstawię. Nie chcę tu robić ścisłego dowodu, bo wymagałoby to pewnie sporych i niemiłych napisów, rozkład prawdopodobieństw określonej liczby dzieci nie jest taki oczywisty i nie wiem czy do końca bym umiał. Ale mam nadzieję, że jest jasne, że sytuacja jest z grubsza symetryczna, a ew. przemawiająca na korzyść Kańtoch.

Ale teraz przejdźmy do crème de la crème naszej zagadki. Pokażemy, bez żadnych kombinowań, że zakładając, że każda z pań ma dwoje dzieci (to nie jest wymagane założenie - moglibyśmy to sprawdzić dla każdej innej liczby), to Kańtoch ma większe szanse na posiadanie drugiego syna.
Założymy tu też, że dwoje dzieci nie ma na imię tak samo, ale można uzyskać podobny wynik i bez tego.

Będzie nam potrzebny wzór Bayesa, który jest na dobrą sprawę stwierdzeniem oczywistości. Wygląda on tak: P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B). Najlepiej jest chyba samemu je przeanalizować. U nas tłumaczy się na: szansa, że Kańtoch ma dwóch synów (A), jeśli ma Marcina (B) to szansa, że miałaby Marcina mając dwóch synów podzielone przez szansę na posiadanie Marcina. To P(B|A)×P(A) to nic innego niż szansa na zajście obu zdarzeń A i B (ze wzoru na pr. warunkowe). Właściwie wzór Bayesa to tylko przepisany wzór na pr. warunkowe.

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
P(B|A) = P(B∩A)/P(A) = P(A∩B)/P(A)
P(B|A)×P(A) = P(A∩B), co wystarczy wstawić do pierwszego wyrażenia.

Pozostaje nam to policzyć. Założmy, że prawdopodobieństwo nazwania syna Marcin wynosi p. Szansa na to, że w domu jest Marcin (czyli P(B)) to: 1/4×(2p(1-p))+1/2p=1/2(2p-p²)
Szansa, że mając dwóch chłopców (co zadzodzi w 1/4 przypadków) ma się Marcina wynosi 2p(1-p), do tego dochodzi szansa p, gdy jest jeden chłopiec i jedna dziewczynka.

Teraz pr. że ma się Marcina, jeśli ma się dwóch synów: P(B|A) = 2p(1-p) = 2p-2p². (Czyli to co wyżej, tylko z prawdopodobieństem posiadania dwóch synów równym 1).

I nasz końcowy wzór: Szansa na posiadania dwóch synów, jeśli jeden z nich nazywa się marcin = P(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B) = 1/4×(2p-2p²) dzielone przez 1/2(2p-p²) = (1-p)/(2-p).
Ponieważ p musi być mniejsze od połowy otrzymany wynik jest mniejszy od 1/3. A właściwie znajduje się gdzieś niewiele ponad 1/2, bo przecież imię Marcin nosi może co dwudziesty chłopiec.
Co zabawne, gdy zalożymy p=1 wynik też się zgadza, okazuje się, że nie ma żadnych szans na posiadanie dwoch synów, bo dwóch mieć nie można.

Gdybyśmy założyli, że dwaj synowie mogą się nazywać tak samo (albo zmienimy zagadkę i Kańtoch zdradzi, że jej syn jest blondynem) otrzymamy wynik: (2-p)/(4-p). Tu wstawiając p=1 (czyli posiadanie Marcina/blondyna jest równoznaczne z posiadaniem syna) otrzymamy 1/3, co się zgadza z interpretacją.
"Polski musi mieć inny sufiks derywacyjny na każdą okazję, zawsze wraca z centrum handlowego z całym naręczem, a potem zapomina i tęchnie to w szafach..."

Awatar użytkownika
Gesualdo
Klapaucjusz
Posty: 2011
Rejestracja: pn, 01 wrz 2008 14:45

Post autor: Gesualdo » pt, 02 mar 2012 14:07

No-qanek pisze: Wiemy, że syn Kańtoch ma na imię Marcin. To znacząco zwiększa prawdopodobieństwo posiadania drugiego syna.
Nie czaję tej implikacji. Znaczy, Marcin to jest jakieś magiczne imię?
"Jestem kompozytorem i coś pewnie chciałem, ale już zapomniałem."

Awatar użytkownika
nosiwoda
Strategos
Posty: 5325
Rejestracja: pn, 20 cze 2005 15:07
Płeć: Mężczyzna

Post autor: nosiwoda » pt, 02 mar 2012 14:49

No-qankowi chodzi chyba o to, że skoro użyła imienia, a nie powiedziała "mój syn", to znaczy, że musiała rozróżnić między dwoma.
"Having sons means (among other things) that we can buy things "for" those sons that we might not purchase for ourselves" - Tycho z PA

Awatar użytkownika
Gesualdo
Klapaucjusz
Posty: 2011
Rejestracja: pn, 01 wrz 2008 14:45

Post autor: Gesualdo » pt, 02 mar 2012 15:13

nosiwoda pisze:No-qankowi chodzi chyba o to, że skoro użyła imienia, a nie powiedziała "mój syn", to znaczy, że musiała rozróżnić między dwoma.
No-qanek pisze: A ta teza jest średnio wiarygodna - równie dobrze może mówić po imieniu, bo jest jej jedynym synem i wybiera bardziej emfatyczną formę. A może po prostu "mój syn" brzmi mniej naturalnie niż zwyczajnie po imieniu.
"Jestem kompozytorem i coś pewnie chciałem, ale już zapomniałem."

Awatar użytkownika
Cordeliane
Wynalazca KNS
Posty: 3663
Rejestracja: ndz, 16 sie 2009 19:23

Post autor: Cordeliane » pt, 02 mar 2012 15:58

Wydaje mi się, że No-qanka coś poniosło, albo źle sformułował zagadkę. Obie panie mówią w tym dialogu o konkretnych synach, syn jednej ma na imię Marcin, syn drugiej ma urodziny (to, że nie padło imię, niczego tu nie zmienia, możemy go nazwać Ten-Który-Ma-Urodziny i przeprowadzić dla niego identyczne wyliczenia). Prawdopodobieństwo, że któraś z nich ma drugiego syna, jest takie samo.
Light travels faster than sound. That's why some people appear bright until they speak.

Awatar użytkownika
nosiwoda
Strategos
Posty: 5325
Rejestracja: pn, 20 cze 2005 15:07
Płeć: Mężczyzna

Post autor: nosiwoda » pt, 02 mar 2012 16:03

Wyjaśnienie jest takie: No-qanek chce mieć dwóch synów, w tym co najmniej jednego Marcina, musimy tylko wyliczyć, czy chce ich mieć z A. Brzezińską, czy z A. Kańtoch. ENGAGE!
"Having sons means (among other things) that we can buy things "for" those sons that we might not purchase for ourselves" - Tycho z PA

Awatar użytkownika
Alfi
Inkluzja Ultymatywna
Posty: 23434
Rejestracja: pt, 10 cze 2005 10:29

Post autor: Alfi » pt, 02 mar 2012 16:27

Zalegalizujmy bigamię.
Inna rzecz, że można i bez udawania się do urzędów czy przed ołtarze.
Le drame de notre temps, c’est que la bêtise se soit mise à penser. (Jean Cocteau)

Awatar użytkownika
No-qanek
Baron Harkonnen
Posty: 4075
Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03

Post autor: No-qanek » pt, 02 mar 2012 22:54

Gesu, tak: jest różnica między stwierdzeniem, że ma się syna, a tym, że ma się syna o imieniu Marcin. Ściśle wynika to z obliczeń. Bardziej intuicyjnie z tego, że imię Marcin zawęża zakres. Nie każdy chłopiec ma na imię Marcin i to już wystarcza, by zwiększyć prawd. na posiadanie drugiego syna.

nosiwodo, rozróżnianie nie ma tu nic do rzeczy. Obaj synowie mogliby się nazywać Marcin i wciąż wiedza o jednym noszącym takie imię zmieniałaby nam sytuację.

Cordi, nie jest to kwestia mówienia o konkretnych synach, przyjrzyj się rozumowaniu. Masz rację, że mogłem lepiej zadbać o czystość: syn, którego urodziny się zbliżają to też mniej niż sam syn, ale podejrzewam, że jest to jednak bardziej powszechne niż posiadanie imienia Marcin i granie w Wiedźmina. Choć porównywanie tych prawdopodobieństw wymagałoby już pewnego naciągania.
Ale ty chyba nie w ten bęben bijesz. Różnica w szansach jak najbardziej jest. Zrób sobie chociażby serię eksperymentów.

Tu nie ma nic magicznego, ażeby popadać w wyparcie. Tak działa rzeczywistość.
"Polski musi mieć inny sufiks derywacyjny na każdą okazję, zawsze wraca z centrum handlowego z całym naręczem, a potem zapomina i tęchnie to w szafach..."

Awatar użytkownika
Gesualdo
Klapaucjusz
Posty: 2011
Rejestracja: pn, 01 wrz 2008 14:45

Post autor: Gesualdo » pt, 02 mar 2012 23:05

Czekaj, dobrze zrozumiałem?
Jeśli jedna koleżanka powie mi, że ma syna, a druga powie mi, ze ma syna imieniem Marcin, to większe prawdopodobieństwo, że ta druga ma dwóch synów, niż ta pierwsza?

I to dotyczy tylko imienia Marcin, czy w ogóle samego faktu, że dowiem się, jak syn ma na imię?
"Jestem kompozytorem i coś pewnie chciałem, ale już zapomniałem."

Awatar użytkownika
No-qanek
Baron Harkonnen
Posty: 4075
Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03

Post autor: No-qanek » pt, 02 mar 2012 23:26

Dobrze zrozumiałeś. Dotyczy to samego faktu, że znasz imię tego syna, o którym mowa. Albo jakąkolwiek inną cechę, która nie wynika wprost z bycia synem. I to całkiem porządnie, bo zwiększa zwykle szansę z 1/3 do prawie 1/2.

Witamy w rzeczywistości :>
"Polski musi mieć inny sufiks derywacyjny na każdą okazję, zawsze wraca z centrum handlowego z całym naręczem, a potem zapomina i tęchnie to w szafach..."

Awatar użytkownika
Gesualdo
Klapaucjusz
Posty: 2011
Rejestracja: pn, 01 wrz 2008 14:45

Post autor: Gesualdo » pt, 02 mar 2012 23:44

Hmm... niech pomyślę. Wyobraźmy sobie sytuację taką, że stoją przede mną te koleżanki. A ja mówię do pierwszej: encepecne, w której ręce? Ona wygrywa i w nagrodę mówi mi imię syna. W tym momencie już wiem, że z większym prawdopodobieństwem ma drugiego. Jak by przegrała, i ta druga wyjawiła mi imię syna, to wtedy szanse by się odwróciły.
To jest ta rzeczywistość?
"Jestem kompozytorem i coś pewnie chciałem, ale już zapomniałem."

Awatar użytkownika
No-qanek
Baron Harkonnen
Posty: 4075
Rejestracja: pt, 04 sie 2006 13:03

Post autor: No-qanek » sob, 03 mar 2012 00:38

Wtedy Kańtoch ci odpowiada: "A którego syna?" :>
Gdybyś pozwolił, by wymieniły imię dowolnego to zdaje się, że tez mamy do czynienia z inną sytuacją, bo poprzednio nie mogły imienia wybrać losowo - ale może nie, muszę się zastanowić.

Gesu, natury rzeczywistości się nie sprawdza spaczoną logiką. Tylko naocznie. Zrób sobie taki zestaw karteczek: rzuć najpierw dwoma monetami - to będą płcie dzieci. Dla każdego chłopca rzuć kostką i jeśli wypadnie 6 nazwij go Marcin (możesz uznać, że nie może być w rodzinie dwóch Marcinów). Takie gotowe karteczki podziel na dwie kupki, na tyłach kartek z pierwszej pisz "jest syn" jeśli jest to prawdą, na tyłach tych z drugiej pisz "jest Marcin", jeśli to jest prawdą.

A potem przeprowadź losowanie (tzn. nie musisz losować karteczek, możesz je po prostu sprawdzić po kolei) najpierw na jednej, a potem na drugiej kupce. Karteczki bez informacji odrzucaj, na lewo kładź te, gdzie jest dwóch synów, na prawo te, gdzie tak nie jest.
Może uznasz, że to Zły zaślepił ci zmysły, ale zapewniam cię, że okaże się, że w zestawie z "jest Marcin" po lewej jest sporo więcej karteczek.
"Polski musi mieć inny sufiks derywacyjny na każdą okazję, zawsze wraca z centrum handlowego z całym naręczem, a potem zapomina i tęchnie to w szafach..."

Awatar użytkownika
Othar
Pćma
Posty: 232
Rejestracja: pt, 08 wrz 2006 20:55

Post autor: Othar » sob, 03 mar 2012 08:52

Gesu Brzezińska nie stwierdziła, że chodzi o jej syna nawet. Logicznie wnioskujemy to z wypowiedzi Kańtoch, ponieważ nie proponowałaby zakupu drugiego Wiedźmina do domu.

To mogło być pytanie o opinię co w danym czasie może fajnego jakaś matka kupić synowi.
BoogieWoogie, Swing, Jitterbug, Rock'N'Roll, Foxtrot

Awatar użytkownika
Gesualdo
Klapaucjusz
Posty: 2011
Rejestracja: pn, 01 wrz 2008 14:45

Post autor: Gesualdo » sob, 03 mar 2012 10:30

Kańtoch nie proponowała drugiego Wiedźmina, ponieważ to syn Kańtoch już ma tę grę, a to Brzezińska prosi o radę.
A to, że powiedziała „synowi”, a nie „mojemu synowi” to już czepialstwo. W dodatku jak to ma się do prawdopodobieństwa posiadania dwóch synów?*

Zastanawia mnie jedna sprawa. Skoro rozwiązanie zagadki jest proste jak strzała. Skoro odwołuje się do zdrowego rozsądku i jest intuicyjne, to dlaczego No-qanek nie potrafi tego prosto, zwięźle wyjaśnić? Jak, chociażby, ja z tymi bramkami trzema.
Bo moja intuicja raczej wietrzy sofistykę.
No chyba, że rzeczywiście trzeba te wzorki wszystkie, ale to w takim razie nie jest intuicyjne i nie jest proste jak strzała. Ale i tak uważam, że można by jaśniej formułować myśli.



e. * zresztą. tam w zagadce stoi, że "chłopców". Może ma jakichś niewolników. A właśniwie to czasami się mówi, że mężczyźni to tacy duzi chłopcy, więc może trzeba się zastanowić, która się nie rozwiodła. I tak dalej, i tak dalej.
"Jestem kompozytorem i coś pewnie chciałem, ale już zapomniałem."

Awatar użytkownika
ElGeneral
Kratistos
Posty: 8408
Rejestracja: pt, 09 lis 2007 18:36

Post autor: ElGeneral » sob, 03 mar 2012 15:47

Gesualdo pisze: ...Zastanawia mnie jedna sprawa. Skoro rozwiązanie zagadki jest proste jak strzała. Skoro odwołuje się do zdrowego rozsądku i jest intuicyjne, to dlaczego No-qanek nie potrafi tego prosto, zwięźle wyjaśnić? Jak, chociażby, ja z tymi bramkami trzema.
Bo moja intuicja raczej wietrzy sofistykę.
No chyba, że rzeczywiście trzeba te wzorki wszystkie, ale to w takim razie nie jest intuicyjne i nie jest proste jak strzała. Ale i tak uważam, że można by jaśniej formułować myśli.
Gesu, prosto i zwięźle wyjaśniają sprawy tłuki krzemienne, ale nie takie makiawele, jak n-g... Co Ty sobie wyobrażasz? Profesor medycyny na silne przeziębienie nie zaleci ciętych baniek, bo takiej porady mogłaby ci udzielić twoja Babcia. On musi zawile i pokrętnie (choć niekoniecznie z dobrym skutkiem), tak żebyś stęknął z podziwu i walnął czołem "o ziem" z zachwytu nad jego uczonością...
Takie jest moje zdanie w tej materii, a oprócz tego uważam, że Kartagina powinna być zburzona.

ODPOWIEDZ